數學 B1 P112–P114｜完整解題

步驟 1｜先比較兩人的速度
甲工程：李四 8 天完成，比張三 10 天快。
乙工程：張三 15 天完成，比李四 20 天快。

所以一開始安排：
李四做甲工程，張三做乙工程。

步驟 2｜前 8 天的進度
李四做甲 8 天，剛好完成甲工程。

張三做乙 8 天，每天完成乙工程的 115：
8 天完成：
8 × 115＝815。

乙工程剩下：
1－815＝715。

步驟 3｜第 8 天後，兩人一起做乙
張三每天完成 115；
李四每天完成 120。

兩人一天合做：
115＋120
＝460＋360
＝760。

剩下 715，所需時間：
715 ÷ 760
＝715 × 607
＝4（天）。

所以總時間：
8＋4＝12 天。

先把整個地球表面積看成 1。

總陸地：14。
其中北半球陸地占總陸地的 34：
北半球陸地＝14 × 34＝316。

南半球陸地：
14－316
＝416－316
＝116。

南、北半球各占地球表面的 12＝816。

(1) 各占地球全表面積多少？

北半球海洋：
816－316＝516。

南半球海洋：
816－116＝716。

(2) 各占全部海洋多少？

全部海洋：
1－14＝34＝1216。

北半球海洋占全部海洋：
516 ÷ 1216
＝516 × 1612
＝512。

南半球海洋占全部海洋：
716 ÷ 1216
＝716 × 1612
＝712。

把北半球面積看成 1，南半球面積也看成 1。

北半球：
陸地＝25。
海洋＝1－25＝35。

南半球：
海洋＝1316。
陸地＝1－1316＝316。

全地球陸地：
25＋316
＝3280＋1580
＝4780。

全地球海洋：
35＋1316
＝4880＋6580
＝11380。

陸地是海洋的：
4780 ÷ 11380
＝4780 × 80113
＝47113。

n³⁰⁰＝(n³)¹⁰⁰。
7⁴⁰⁰＝(7⁴)¹⁰⁰。

所以只要比較：
n³＜7⁴。

先算：
7⁴＝7×7×7×7
＝49×49
＝2401。

接著找最接近 2401 的整數立方：
13³＝13×13×13
＝169×13
＝2197。

14³＝14×14×14
＝196×14
＝2744。

因此：
13³＜2401＜14³。

所以能滿足條件的最大正整數是 13。

先看前幾個分母：
1＝1×22；
1＋2＝2×32；
1＋2＋3＝3×42。

一般來說：
1＋2＋3＋……＋k＝k(k＋1)2。

所以第 k 項的倒數是：
1k(k＋1)2 ＝2k(k＋1)。

而：
2k(k＋1) ＝2k－2k＋1。

因此原式：
(2－1)
＋(22－23)
＋(23－24)
＋……
＋(2100－2101)。

中間的項會一一消去，只剩：
2－2101
＝202101－2101
＝200101。

(1) 立方和
由題目列出的規律可猜想：
1³＋2³＋……＋n³
＝14·n²·(n＋1)²
＝[n(n＋1)2]²。

(1) 平方和：不用背公式，從相鄰立方數相減推導

先用分配律展開：
(k＋1)³
＝(k＋1)(k＋1)(k＋1)
＝k³＋3k²＋3k＋1。

所以：
(k＋1)³－k³＝3k²＋3k＋1。

把 k＝1、2、3、……、n 的式子全部相加：
(2³－1³)＋(3³－2³)＋……＋[(n＋1)³－n³]
＝3(1²＋2²＋……＋n²)
　＋3(1＋2＋……＋n)＋n。

左邊中間會消去，只剩：
(n＋1)³－1。

又：
1＋2＋……＋n＝n(n＋1)2。

令 S＝1²＋2²＋……＋n²，得到：
(n＋1)³－1＝3S＋3·n(n＋1)2＋n。

兩邊乘 2：
2(n＋1)³－2
＝6S＋3n(n＋1)＋2n。

移項：
6S
＝2(n＋1)³－2－3n(n＋1)－2n
＝2n³＋3n²＋n
＝n(2n²＋3n＋1)
＝n(n＋1)(2n＋1)。

所以：
S＝n(n＋1)(2n＋1)6。

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(2) 1³＋2³＋……＋100³
＝[100×1012]²
＝5050²
＝25,502,500。

(3) 11³＋12³＋……＋100³
＝(1³＋2³＋……＋100³)－(1³＋2³＋……＋10³)
＝25,502,500－[10×112]²
＝25,502,500－55²
＝25,502,500－3,025
＝25,499,475。

(4) 2³＋4³＋……＋100³
＝(2×1)³＋(2×2)³＋……＋(2×50)³
＝2³(1³＋2³＋……＋50³)
＝8×[50×512]²
＝8×1275²。

1275²＝1,625,625，
所以：
8×1,625,625＝13,005,000。

先利用「偶次方的負數結果為正數」。

整理 A 與 C：
C＝1＋(164)⁴＋(164)⁸。

把 C 乘上 (164)⁴：
(164)⁴C
＝(164)⁴＋(164)⁸＋(164)¹²
＝A。

所以：
A＝(164)⁴C。

整理 B 與 D：
因為：
116＝18×12，
124＝18×13。

所以：
B
＝(18)⁵[1＋(12)⁵＋(13)⁵]
＝(18)⁵D。

原式：
A ÷ B ÷ C × D
＝[(164)⁴C] ÷ [(18)⁵D] ÷ C × D。

C、D 可以前後約掉：
＝(164)⁴ ÷ (18)⁵。

因為 64＝8²：
(164)⁴
＝(18²)⁴
＝18⁸。

因此：
18⁸ ÷ 18⁵
＝18⁸ × 8⁵
＝18³
＝1512。

答案：1512。

第一個分式：
分子提出 2⁴：
2⁴＋2⁸＋2¹²
＝2⁴(1＋2⁴＋2⁸)。

分母：
2⁰＋2⁴＋2⁸
＝1＋2⁴＋2⁸。

所以第一個分式：
2⁴(1＋2⁴＋2⁸)1＋2⁴＋2⁸＝2⁴。

第二個分式：
8＝4×2，12＝4×3。

4²＋8²＋12²
＝4²＋(4×2)²＋(4×3)²
＝4²(1²＋2²＋3²)。

所以第二個分式：
4²(1²＋2²＋3²)1²＋2²＋3²＝4²。

又 4＝2²：
4²＝(2²)²＝2⁴。

因此原式：
2⁴×2⁴
＝2^4＋4
＝2⁸。